设f为(-∞,+∞)上的二阶可导函数,若f在(-∞,+∞)上有界,则存在ξ∈(-∞,+∞),使f”(ξ)=0.

admin2022-11-23  18

问题 设f为(-∞,+∞)上的二阶可导函数,若f在(-∞,+∞)上有界,则存在ξ∈(-∞,+∞),使f”(ξ)=0.

选项

答案先证f”(x)在(-∞,+∞)上不能恒为正,也不能恒为负.用反证法. 不妨设恒有有f”(x)>0,x∈(-∞,+∞).则存在x0∈(-∞,+∞),使得f’(x0)≠0,不妨设f’(x0)>0,由泰勒定理得,f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+[*](x-x0)2(ξ介于x0,x之间).于是[*],这与f(x)在(-∞,+∞)上有界矛盾. 再用反证法证明原命题.假设不存在ξ∈(-∞,+∞),使f”(ξ)=0.则存在a.b,使得f”(a)<0,f”(b)>0,对f’(x)应用达布定理可知,存在ξ∈(-∞,+∞),使得f”(ξ)=0,此与假设矛盾,故原命题得证.

解析
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