求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面，使得它与该抛物面及圆柱面(x一1)2+y2=1所围成的体积最小，试写出切平面方程，并求出最小体积．

admin2020-03-05 25

问题求抛物面z=1+x²+y²的一个切平面，使得它与该抛物面及圆柱面(x一1)²+y²=1所围成的体积最小，试写出切平面方程，并求出最小体积．

选项

答案设M₀(x₀，y₀，z₀)是抛物面上的任意一点，则该点处的切平面方程为[*] 即2x₀(x一x₀)+2y₀(y一y₀)一z一(1+x₀²+y₀²)]=0．于是， z=2x₀x+2y₀y+1一x₀²一y₀²．由于该立体在xOy坐标平面上的投影区域为D={(x，y)｜(x一1)²+y²≤1}，则所围成的体积为 [*] 由于驻点的唯一性，根据问题的实际意义，体积V确有最小值．故当x₀=1，y₀=0时，体积V达到最小[*] 此时，切平面方程为2(x—1)一(z一2)=0，即2x—z=0．

解析本题主要考查抛物面上的任意一点的切平面方程，切平面与抛物面及圆柱面所围成的体积．
得到体积公式中的被积函数的表达式是本题的关键所在．

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考研数学一

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求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面，使得它与该抛物面及圆柱面(x一1)2+y2=1所围成的体积最小，试写出切平面方程，并求出最小体积．

考研数学一

设Ω为曲线z=1—x2一y2，z=0所围的立体，如果将三重积分化为先对z再对y最后对x积分，则I=_________．

对随机变量X，Y，Z，已知EX=EY=1，EZ=-1，DX=DY=1，DZ=4，ρ(X，Y)=0，ρ(X，Z)=1／3，ρ(Y，Z)=-1／2，(ρ为相关系数)则E(X+Y+Z)=_，D(X+Y+Z)=_，cov(2X+Y，3Z+X

设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=_______．

设向量组α1，α2，α3为方程组AX=0的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0的基础解系的是()．

I(x)=∫0xdμ在区间[－1，1]上的最大值为________．

设f(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0，证明：存在一点ξ∈a，6]，使∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．

设f(x)与g(x)在[a，b]上连续，且同为单调不减(或同单调不增)函数，证明：(b一a)∫abf(x)g(x)dx≥∫abf(x)dx∫abg(x)dx．(*)

设A为n阶矩阵，αn≠0，满足Aα0＝0，向量组α1，α2满足Aα1＝α0，A2α2＝α0．证明α1，α2，α3线性无关．

求函数的最大值与最小值。

计算，其中C为从点A(一a，0)到点B(a，0)的上半椭圆(y≥0)．

Afterall,______herfaultsare,sheisArnold’smother.

阴虚火旺者禁用的药是外用药，不可内服的药是

铁路干线两侧执行城市区域铅垂向Z振级昼夜标准值分别是()。

根据《道路交通安全法》的规定，道路交通安全违法行为的行政处罚种类有()。

下列各项中，不属于土地增值税的征税范围是()。

在服务质量的评价标准中，()是设身处地地为顾客着想和对顾客给予特别的关注。

正式学习是指学习者在教师的组织和引导下有目的、有计划地开展以接受间接知识为内容的学历或非学历教育学习活动。根据上述定义，下列属于正式学习的是：

今年底前后，全县预计能速造公路约100多里左右。

在数据库技术中，为提高数据库的逻辑独立性和物理独立性，数据库的结构被划分成用户级、存储级和

I’mtoldthatduringaninternationalgameofchess(国际象棋),manybeautifulmovescouldbcmadeonachessboard.Inadecisive【C1

求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面，使得它与该抛物面及圆柱面(x一1)2+y2=1所围成的体积最小，试写出切平面方程，并求出最小体积．

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设f(x)与g(x)在[a，b]上连续，且同为单调不减(或同单调不增)函数，证明：(b一a)∫abf(x)g(x)dx≥∫abf(x)dx∫abg(x)dx．(*)

设A为n阶矩阵，αn≠0，满足Aα0＝0，向量组α1，α2满足Aα1＝α0，A2α2＝α0．证明α1，α2，α3线性无关．

求函数的最大值与最小值。

计算，其中C为从点A(一a，0)到点B(a，0)的上半椭圆(y≥0)．

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