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  3. 设函数z=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且试证明：对任意的常数c，f(x，y)=c为一直线的充分必要条件是(f’y)2·f’’xx一2f’x·f’y·f’’xy+(f’x)2·f’yy=0．

设函数z=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且试证明：对任意的常数c，f(x，y)=c为一直线的充分必要条件是(f’y)2·f’’xx一2f’x·f’y·f’’xy+(f’x)2·f’yy=0．

admin2017-05-31  29
问题 设函数z=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且试证明：对任意的常数c，f(x，y)=c为一直线的充分必要条件是(f’y)2·f’’xx一2f’x·f’y·f’’xy+(f’x)2·f’yy=0．
选项
答案必要性：设f(x，y)=c是一直线，则必有 f(x，y)=ax+by+d(a、b、d均为常数)， 从而f’x=a，f’y=b，f’’xx=f’’xy=f’’yy=0，则 (f’y)2．f’’xx一2f’x．f’y．f’’xy+(f’x)2．f’’yy=0．充分性： [*] 即(f’y)2．f’’xx一2f’x．f’y．f’’xy+(f’x)2．f’’yy=0时，f(x,y)=c是一条直线．
解析 由于y=y(x)是线性函数的充分必要条件是：y’(x)=k(常数)，进而y’’(x)=0．
设y=y(x)是方程f(x，y)=0所确定的隐函数，则只需证明：f(x，y)=c是一直线方程的充分必要条件是
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