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  3. 设矩阵A=有一个特征值是3，求y，并求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵。

设矩阵A=有一个特征值是3，求y，并求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵。

admin2019-01-23  34
问题 设矩阵A=有一个特征值是3，求y，并求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵。
选项
答案因为3是A的特征值，故|3E—A|=8(3一y一1)=0，解得y=2。于是 [*] 由于AT=A，要(AP)T(AP)=pTA2P=Λ，而A2=[*]是对称矩阵，即要A2一Λ， 故可构造二次型xTA2x，再将其化为标准形。由配方法，有 xTA2x=x12+x22+532+542+8x3x4=y12+y22+5y32+[*]2y42， 其中y1=x1，y2=x2，y3=x3+[*]x4，y4=x4，即 [*] 于是 (AP)T(AP)=PTA2P=[*]
解析
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考研数学三

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