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  3. 设A是n阶方阵，证明：AnX=0和An+1X=0是同解方程组．

设A是n阶方阵，证明：AnX=0和An+1X=0是同解方程组．

admin2017-07-26  43
问题 设A是n阶方阵，证明：AnX=0和An+1X=0是同解方程组．
选项
答案显然AnX=0的解必是An+1X=0的解．反之：若An+1X=0，则必有AnX=0， 用反证法，若AnX≠0，则必有An—1X≠0，An—2X≠0，…，AX≠0，X≠0，上述n+1个n维向量必线性相关，故存在不全为0的数k1，k2，…，kn+1，使得 k1X+k2AX+…+kn+1AnX=0． ① ①式左乘An得 k1AnX=0， AnX≠0得，k1=0． k1=0代入①式，再乘An—1，可得k2=0，同理有ki=0，i=1，2，…，n+1，这和k1，k2，…，kn+1不全为0矛盾，故必有AnX=0． 从而得证：AnX=0和An+1X=0是同解方程组．
解析
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考研数学三

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