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  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x21+(1-a)x22+2x23+2(1+a)x1x2的秩为2． 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；

已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x21+(1-a)x22+2x23+2(1+a)x1x2的秩为2． 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；

admin2020-04-30  13
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x21+(1-a)x22+2x23+2(1+a)x1x2的秩为2．
求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；
选项
答案当a=0时， [*] 可知A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=0． 对于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得A的属于λ1=λ2=2的线性无关的特征向量为 ξ1=(1，1，0)T，ξ2=(0，0，1)T． 对于λ3=0，解齐次线性方程组(-A)x=0，得A的属于λ3=0的线性无关的特征向量为 ξ3=(-1，1，0)T． 易见ξ1，ξ2，ξ3两两正交，只需单位化，得 [*] 于是 [*] 则Q为正交矩阵．在正交变换x=Qy下，二次型的标准形为 f=2y21+2y22．
解析
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考研数学一

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