设二阶常系数微分方程y〞+αyˊ+βy=ye2x有一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定α,β,γ和此方程的通解.

admin2012-06-04  52

问题 设二阶常系数微分方程y〞+αyˊ+βy=ye2x有一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定α,β,γ和此方程的通解.

选项

答案由此方程的非齐次项含e2x及特解形式知,e2x是非齐次方程的特解,而由线性微分方程解的性质知(1+x)ex应是其对应的齐次方程的解,故r=1为此方程的齐次方程的特征方程的二重根,故特征方程为r2-2r+1=0, 由此得α=-2,β=1,故原方程为y〞-2yˊ+y=γe2x,将e2x代人得γ=1, 故得原方程为y〞-2yˊ+y=e2x,其通解为y=(C1+C2x)ex+e2x

解析
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