2. 考研
  3. 设f(x)连续，且∫0xtf(2x-t)dt=1/2arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx.

设f(x)连续，且∫0xtf(2x-t)dt=1/2arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx.

admin2022-08-19  31
问题 设f(x)连续，且∫0xtf(2x-t)dt=1/2arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx.
选项
答案[*]
解析 由∫0xtf(2x-t)dt423∫2xx(2x-u)f(u)(-du)
=∫x2x(2x-u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du-∫x2xuf(u)du，
得2x∫x2xf(u)du-∫x2xuf(u)du=1/2arctanx2，等式两边对x求导得
2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)-f(x)]-4xf(2x)+xf(x)=x/(1+x4)，整理得
2∫x2xf(u)du-xf(x)=x/(1+x4)，
取x=1得2∫12f(u)du-f(1)=1/2，故∫12f(x)dx=3/4.
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考研数学三

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