求一个正交变换,化二次型f=x12+4x22+4x32一4x1x2+4x1x3一8x2x3为标准形.

admin2020-09-25  35

问题 求一个正交变换,化二次型f=x12+4x22+4x32一4x1x2+4x1x3一8x2x3为标准形.

选项

答案二次型对称矩阵为A=[*] 求其特征值:|λE一A|=[*]=λ2(λ一9),得λ12=0,λ3=9. ①当λ12=0时,由(一A)x=0得同解方程x1一2x2+2x3=0,解得线性无关的特征向量为 ξ1=(2,1,0)T,ξ2=(一2,0,1)T, 将ξ1,ξ2标准正交化得[*] ②当λ3=9时,由(9E—A)x=0得同解方程为[*]解之得对应的特征向量为ξ3=(1,一2,2)T,再把ξ3单位化得η3=[*] 原二次型经正交变换[*]化为标准形f=9y32

解析
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