设F(X)在[0，1]连续可导，且F(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．

admin2017-08-31 27

问题设F(X)在[0，1]连续可导，且F(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f^’(ξ)=2∫₀¹f(x)dx．

选项

答案因为f^’(x)在区间[0，1]上连续，所以f^’(x)在区间[0，1]上取到最大值M和最小值m，对f(x)一f(0)=f^’(c)x(其中c介于0与x之间)两边积分得 ∫₀¹f(x)dx=∫₀¹f^’(c)xdx，由m≤f^’(c)≤M得m∫₀¹xdx≤∫₀¹f^’(c)xdx＜M∫₀¹xdx，即m≤2∫₀¹f^’(c)xdx≤M或m≤2∫₀¹f(x)dx≤M，由介值定理，存在ξ∈[0,1]，使得f^’(ξ)=2∫₀¹f(x)dx．

解析

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考研数学一

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