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  3. 设A为m×n矩阵，且r(A)==r＜n，其中． (Ⅰ)证明方程组AX=b有且仅有n—r+1个线性无关解； (Ⅱ)若有三个线性无关解，求a，b及方程组的通解．

设A为m×n矩阵，且r(A)==r＜n，其中． (Ⅰ)证明方程组AX=b有且仅有n—r+1个线性无关解； (Ⅱ)若有三个线性无关解，求a，b及方程组的通解．

admin2014-11-26  45
问题 设A为m×n矩阵，且r(A)==r＜n，其中．
(Ⅰ)证明方程组AX=b有且仅有n—r+1个线性无关解；
(Ⅱ)若有三个线性无关解，求a，b及方程组的通解．
选项
答案(Ⅰ)令ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，η0为AX=b的特解，显然β0=η0，β1=ξ1+η0，…，βn-r=ξn-r+η0为AX=b的一组解，令k0β0+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即 k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+(k0+k1+…+kn-r)η0=0?上式左乘A得(k0+k1+…+kn-r)b=0，因为b≠0时，k0+k1+…+kn-r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r为AX=0的基础解系，所以k1=k2=…=kn-r=0，于是k0=0，故β0，β1，…，βn-r线性无关．若γ0，γ1，…，γn-r+1为AX=b的线性无关解，则ξ1=γ1一γ0，…，ξn-r+1=γn-r+1一γ0为AX=0的解，令k1ξ1+k2ξ2+…+kn-r+1ξn-r+1=0，则k1γ1+k2γ2+…+kn-r+1γn-r+1一(k1+k2+…+kn-r+1)γ0=0．因为γ0，γ1，…，γn-r+1线性无关，所以k1=k2…=kn-r+1=0，即ξ1，ξ2，…，ξn-r+1为AX=0的线性无关解，矛盾，故方程组AX=b恰有n一r+1个线性无关解． (Ⅱ)令[*]化为 AX=β．因为AX=β有三个非零解，所以AX=0有两个非零解，故4一r(A)≥2，r(A)≤2，又因为r(A)≥2，所以r(A)=[*]=2． [*]
解析
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考研数学一

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