设矩阵是矩阵A的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中A是矩阵A的伴随矩阵．试求a，b和λ的值．

admin2020-04-30 29

问题设矩阵

是矩阵A^*的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中A^*是矩阵A的伴随矩阵．试求a，b和λ的值．

选项

答案由于矩阵A可逆，故A^*可逆．于是λ≠0，｜A｜≠0．在等式 A^*α=λα 两边同时左乘矩阵A．得 [*] 即 [*] 由此，得方程组 [*] 由式(1)，(2)解得b=1或b=-2；由式(1)，(3)解得a=2．由于 [*] 根据(1)式知，特征向量α所对应的特征值 [*] 所以，当b=1时，λ=1；当b=-2时，λ=4．

解析本题考查了矩阵的特征值和特征向量的概念和性质，也综合考查了伴随矩阵的概念和性质．实际上由A^*α=λα两边左乘A就可得

，从而得到含有a，b和λ的方程组，从而求得a，b和λ的值．

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考研数学一

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