设A,P均为3阶矩阵,P={γ1,γ2,γ3},其中γ1,γ2,γ3为3维列向量且线性无关,若A(γ1,γ2,γ3)=(γ3,γ2,γ1). 证明A可相似对角化。

admin2022-03-23  54

问题 设A,P均为3阶矩阵,P={γ1,γ2,γ3},其中γ1,γ2,γ3为3维列向量且线性无关,若A(γ1,γ2,γ3)=(γ3,γ2,γ1).
证明A可相似对角化。

选项

答案由A(γ1,γ2,γ3)=(γ1,γ2,γ3)[*],即AP=PB,可推出P-1AP=B,可得A~B 对矩阵B=[*],由 |λE-B|=[*]=(λ-1)(λ2-1)=(λ-1)2(λ+1)=0 得特征值 λ12=1,λ3=-1 当λ12=1时,由(E-B)x=0,即 [*] 解得两个线性无关的特征向量ξ1=(1,0,1)T,ξ2=(0,1,0)T 当λ3=-1时,由(-E-B)x=0,即 [*] 解得特征向量为ξ3=(1,0,-1)T 记Q=[*],则Q-1BQ=[*],故B可相似对角化,[*]

解析
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