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设二阶可微函数满足方程 求f(x).
设二阶可微函数满足方程 求f(x).
admin
2015-12-22
28
问题
设二阶可微函数满足方程
求f(x).
选项
答案
在所给方程两边分别对x求一阶、二阶导数以建立关于f(x)的微分方程初值问题,然后再求解,得到f(x)的表示式. 解 在所给方程两边关于x分别求一阶和二阶导数,得到 [*] 且 f′(0)=1/2, f″(x)+f′(x)=e
x
+2一f″(x). 故得微分方程的初值问题 [*] 则对应齐次方程的特征方程为λ
2
+λ/2=0,解得 λ
1
=0, λ
2
=一1/2. 对应齐次方程的通解为 Y=c
1
+c
2
e
一x/2
. 令非齐次方程的一个特解为 y
*
=y
1
*
+y
2
*
=Ax+Be
x
, 代入方程①得到A=2,B=1/3,故 [*] 因而,原方程的通解为 [*] 由y(0)=1,f′(0)=1/2,得到 c
1
+c
2
+1/3=1, 一c
2
/2+2+1/3=1/2, 解得c
1
=一3,c
2
=11/3,故 [*]
解析
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考研数学二
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