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  3. [2013年] 设函数f(x)=F(x)=∫0xf(t)dt则( )．

[2013年] 设函数f(x)=F(x)=∫0xf(t)dt则( )．

admin2019-04-05  40
问题 [2013年]  设函数f(x)=F(x)=∫0xf(t)dt则(  )．
选项 A、x=π是函数F(x)的跳跃间断点
B、x=π是函数F(x)的可去间断点
C、F(x)在x=π处连续但不可导
D、F(x)在x=π处可导
答案C
解析  先求出F(x)，然后讨论F(x)的性质．
解一  当0≤x＜π时，F(x)=∫0xf(t)dt=∫0xsintdt=1—cosx；
当π≤x≤2π时，F(x)=∫0xf(t)dt=∫0πsintdt+∫πx2dt=2+2(x一π)．
综上所述，    F(x)=
因    F(π一0)=(1一cosπ)=2，  F(π+0)=[2+2(x一π)]=2，
故F(π一0)=F(π+0)，所以F(x)在x=π处连续，但不可导，这是因为
F′-(x)==0
F′+(z=x)=[2+2(x一π)]′=2，
所以F′-(π一0)≠F′+(π+0)，仅(C)入选．
解二  因只有x=π为f(x)的跳跃间断点，故f(x)在[0，2π]上可积．再由命题1．3．3．3可知F(x)=∫0xf(t)dt在x=π处连续，但不可导．仅(C)入选．
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考研数学二

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