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（2010年真题）设向量组S={α1，α2，α3}线性无关，下列向量组中，与S等价的有[ ]个。 ①α1-α3，α2-α3 ②α1，α1+α2，α1+α2+α3 ③α1-α3，α1+α3，2α1，3α3 ④α1-α3，α1+α3，2α2，3α3
（2010年真题）设向量组S={α1，α2，α3}线性无关，下列向量组中，与S等价的有[ ]个。 ①α1-α3，α2-α3 ②α1，α1+α2，α1+α2+α3 ③α1-α3，α1+α3，2α1，3α3 ④α1-α3，α1+α3，2α2，3α3
admin
2015-04-14
49
问题
（2010年真题）设向量组S={α
1
，α
2
，α
3
}线性无关，下列向量组中，与S等价的有[ ]个。
①α
1
-α
3
，α
2
-α
3
②α
1
，α
1
+α
2
，α
1
+α
2
+α
3
③α
1
-α
3
，α
1
+α
3
，2α
1
，3α
3
④α
1
-α
3
，α
1
+α
3
，2α
2
，3α
3
选项
A、1
B、2
C、3
D、4
答案
B
解析
本题考查了向量组等价的性质，利用结论“设向量组S
1
向量组S
2
等价，则它们的秩相等，即r(S
1
)=r(S
2
)。”
由此结论可得：若r(S
1
)≠r(S
2
)，则向量组S
1
与向量组S
2
不等价，①，②，③，④中的向量都可由向量组S表示，又α
1
，α
2
，α
3
线性无关，所以向量组S的秩等于3。向量组①含两个向量，它的秩最大是2，向量组③中的α
1
-α
3
和α
1
+α
3
可由向量组③中的2α
1
及3α
3
表示，所以它的秩是2，因此向量组①和向量组③都不可能与向量组S={α
1
，α
2
，α
3
}等价。对于向量组②，设β
1
=α
1
，β
2
=α
1
+α
3
，β
3
=α
1
+α
2
+α
3
，于是有(β
1
，β
2
，β
3
)=(α
1
，α
2
，α
3
)
因
可逆，于是有(α
1
，α
2
，α
3
)=(β
1
，β
2
，β
3
)
从而可得α
1
，α
2
，α
3
与β
1
，β
2
，β
3
可以相互线性表示，因此向量组②与向量组S等价。
对于向量组④，设β
1
=α
1
-α
3
，β
2
-α
1
+α
3
，β
3
=2α
2
，β
4
=3α
3
，易得α
1
=
，α
2
，α
3
=
，这表明α
1
，α
2
，α
3
可由β
1
，β
2
，β
3
，β
4
线性表示，从而可得α
1
，α
2
，α
3
与β
1
，β
2
，β
3
，β
4
可以相互线性表示，因此，向量组④与向量组S等价。故正确选项为B。
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/oH0jFFFM
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