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  3. 已知微分方程y’’-6y’+9y=e2x的积分曲线y=y(x)经过原点，且在原点的切线平行于直线6x-3y+2=0，则该积分曲线的方程为( )

已知微分方程y’’-6y’+9y=e2x的积分曲线y=y(x)经过原点，且在原点的切线平行于直线6x-3y+2=0，则该积分曲线的方程为( )

admin2020-03-02  33
问题 已知微分方程y’’-6y’+9y=e2x的积分曲线y=y(x)经过原点，且在原点的切线平行于直线6x-3y+2=0，则该积分曲线的方程为(    )
选项 A、y=x2e2x+sin2x．
B、y=(x2cosx+sin 2x)e3x．
C、y=sin2x．
D、y=(x+4)e3x．
答案D
解析 因为积分曲线y=y(x)过原点，所以y(0)=0；又在原点处的切线平行于直线6x-3y+2=0，由导数的几何意义知，y’(0)=2．故本题就是求微分方程
    y’’-6y’+9y=e2x
满足初始条件y(0)=0，y’(0)=2的特解．
    首先求y’’-6y’+9y=0的通解．特征方程为r2-6r+9=0，特征根为r1=r2=3，所以其通解为
y=C1e3x+C2xe3x．
    其次求y’’-6y’+9y=e3x的一个特解．因为3为特征方程的二重根，所以设y*=Ax2e3x为其特解形式，求导得
y’*=2Axe3x+3Ax2e3x，
y’’*=2Ae3x+12Axe3x+9Ax2e3x，
将y*，y’*，y’*代入到y’’-6y’+9y=e3x并化简，得A=x2e3x．
写出y’’-6y+9y=e3x的通解，为
y=C1e3x+C2xe3x+x2e3x．
求导得    y’=3C1e3x+C2e3x+3C2xe3x+xe3x2+x2e3x，
由y(0)=0，y’(0)=2得

从而C1=0，C2=2．故所求积分曲线方程为
y=2xe3x+x2e3x=(x+4)e3x．
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