设f(x)在(0,+∞)内一阶连续可微,且对x∈(0,+∞)满足x∫01f(xt)dt=2∫0xf(t)dt +xf(x)+x3,又f(1)=0,求f(x).

admin2017-12-18  52

问题 设f(x)在(0,+∞)内一阶连续可微,且对x∈(0,+∞)满足x∫01f(xt)dt=2∫0xf(t)dt +xf(x)+x3,又f(1)=0,求f(x).

选项

答案令u=xt,则原方程变换为∫0xf(u)du=2∫0xf(t)dt+xf(x)+x3,两边对x求导得f(x)=2f(x)+f(x)+xf’(x)+3x2,整理得f’(x)+[*]=-3x.此微分方程的通解为f(x)=[*].由f(1)=0,得C=[*],所以f(x)=[*]

解析
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