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  3. [2010年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)=Ae-2x2+2xy-y2，一∞＜x＜+∞，一∞＜y＜+∞， 求常数A及条件概率密度fY｜X(y｜x)．

[2010年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)=Ae-2x2+2xy-y2，一∞＜x＜+∞，一∞＜y＜+∞， 求常数A及条件概率密度fY｜X(y｜x)．

admin2019-04-08  62
问题 [2010年]  设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
f(x，y)=Ae-2x2+2xy-y2，一∞＜x＜+∞，一∞＜y＜+∞，
求常数A及条件概率密度fY｜X(y｜x)．
选项
答案利用泊松积分∫-∞+∞e-x2dx=[*]及概率密度的归一性：1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x，y)dxdy，或∫-∞+∞f(x)dx=1求之， 而1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x，y)dxdy=A∫-∞+∞∫-∞+∞e-2x2+2xy-y2dxdy=A∫-∞+∞e-x2dx∫-∞+∞e-(y-x)2d(y-x) [*] 再利用泊松积分，由上式得[*]，故A=π-1． 或由∫-∞+∞fX(x)dx=1也可求得A．事实上，利用泊松积分得到 fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy=A∫-∞+∞e-2x2+2xy-y2dy=A∫-∞+∞e-(y-x)2-x2dy =Ae-x2∫-∞+∞e-(y-x)2d(y—x)=[*] (一∞＜x＜+∞)， 则∫-∞+∞fX(x)dx=1=[*]，即[*]且 [*] 所以当一∞＜x＜+∞时， [*] (一∞＜y＜+∞)．
解析
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