设A为n阶方阵，A为其伴随矩阵，证明：若r(A)=n-1，则r(A)=1．

admin2021-07-27 35

问题设A为n阶方阵，A^*为其伴随矩阵，证明：若r(A)=n-1，则r(A^*)=1．

选项

答案由题设，r(A)=n-1，知｜A｜=0，从而有AA^*=｜A｜E=0，得r(A)+r(A^*)≤n，即有r(A^*)≤n-r(A)=n-(n-1)=1，又因为r(A)=n-1，则A中至少有一个n-1阶子式不为零，也即至少有一个代数余子式不为零，从而知A^*非零，因此同时有r(A^*)≥1．综上所述，即证r(A^*)=1．

解析

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考研数学二

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