2. 考研
  3. 设有抛物线C1：x2=ay和圆C2：x2+y2=2y． (Ⅰ)确定a的取值范围，使得C1，C2交于三点O，M，P(如图)； (Ⅱ)求抛物线C1与弦MP所围平面图形面积S(a)的最大值； (Ⅲ)求上述具有最大面积的平面图形绕x轴旋转一

设有抛物线C1：x2=ay和圆C2：x2+y2=2y． (Ⅰ)确定a的取值范围，使得C1，C2交于三点O，M，P(如图)； (Ⅱ)求抛物线C1与弦MP所围平面图形面积S(a)的最大值； (Ⅲ)求上述具有最大面积的平面图形绕x轴旋转一

admin2022-09-14  31
问题 设有抛物线C1：x2=ay和圆C2：x2+y2=2y．
    (Ⅰ)确定a的取值范围，使得C1，C2交于三点O，M，P(如图)；
    (Ⅱ)求抛物线C1与弦MP所围平面图形面积S(a)的最大值；
    (Ⅲ)求上述具有最大面积的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积V．
选项
答案(Ⅰ)由[*]得ay+y2=2y， 解得y=0，y=2一a，由0＜y=2—a＜2，可得0＜a＜2．此时C1与C2的三交点是 [*] (Ⅱ)由定积分的几何意义及对称性可得所论平面图形面积 [*] 要使S(a)最大，只要f(a)=a(2一a)3最大(0＜a＜2)．由于是 f’(a)=(2—a) 3—3a(2—a) 2=2(2—a) 2(1—2a)[*] →[*]最大，此时所求面积的最大值 [*] (Ⅲ)由旋转体的体积计算公式可得所求旋转体的体积(圆柱体体积减去二倍抛物旋转体的体积)为 [*]
解析
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考研数学二

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