设随机变量X与Y相互独立,且都服从参数为λ的指数分布. (1)求Z=X+Y的概率密度; (Ⅱ)设Z1,Z2,…Zn为来自总体z的简单随机样本,求λ的矩估计量与最大似然估计量.

admin2020-09-23  37

问题 设随机变量X与Y相互独立,且都服从参数为λ的指数分布.
  (1)求Z=X+Y的概率密度;
  (Ⅱ)设Z1,Z2,…Zn为来自总体z的简单随机样本,求λ的矩估计量与最大似然估计量.

选项

答案(I)依题意知,X与Y的概率密度分别为 [*] 由于X与Y相互独立,故(X,Y)的概率密度为 [*] Z=X+Y的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}. 当z≤0时,FZ(z)=0; 当z>0时, [*] 其中D如右图所示,则 FZ(z)=∫0zdx∫0z-xλ2eλ(x+y)dy =∫0z(λe-λx—λe-λz)dx =1-e-λz—λze-λz. [*] 故Z=X+Y的概率密度为 [*] (Ⅱ)先求λ的矩估计量. [*] 再求λ的最大似然估计量. 样本的似然函数为 [*] 得[*]故λ的最大似然估计量为[*]

解析
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