2. 考研
  3. 设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn＋1＝f(xn)(n＝0，1，2，…)，证明：存在且满足方程f(x)＝x．

设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn＋1＝f(xn)(n＝0，1，2，…)，证明：存在且满足方程f(x)＝x．

admin2019-11-25  45
问题 设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn＋1＝f(xn)(n＝0，1，2，…)，证明：存在且满足方程f(x)＝x．
选项
答案xn＋1－xn＝f(xn)－f(xn－1)＝f’(ξn)(xn－xn－1)，因为f’(x)≥0，所以xn＋1－xn与xn－xn－1同号，故{xn}单调． ｜xn｜＝｜f(xn－1｜＝｜f(x1)＋[*]f’(x)dx｜ ≤｜f(x1)｜＋｜[*]f’(x)dx｜≤｜f(x1)｜＋[*]dx＝｜f(x1)｜＋πk， 即{xn}有界，于是[*]xn存在， 根据f(x)的可导性得f(x)处处连续，等式xn＋1＝f(xn)两边令n→∞，得 [*]xn＝f([*]xn)，原命题得证．
解析
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考研数学三

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