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设A是3阶方阵,A*是A的伴随矩阵,A的行列式|A|=1/2,求行列式|(3A)-1-2A*|的值.
设A是3阶方阵,A*是A的伴随矩阵,A的行列式|A|=1/2,求行列式|(3A)-1-2A*|的值.
admin
2018-07-26
45
问题
设A是3阶方阵,A
*
是A的伴随矩阵,A的行列式|A|=1/2,求行列式|(3A)
-1
-2A
*
|的值.
选项
答案
因为(3A)
-1
=1/3A
-1
,A
*
=|A|A
-1
=1/2A
-1
,所以|(3A)
-1
-2A
*
|=|1/3A
-1
-A
-1
|=|-2/3A
-1
|=(-2/3)
3
|A
-1
|=(-2/3)
3
1/|A|=-16/27.
解析
本题主要考查逆矩阵的概念、性质及方阵行列式的概念.由于一般地有|P+Q|≠|P|+|Q|,所以本题将(3A)
-1
-2A
*
化成一个方阵是求解关键.本题亦可由A
-1
=1/|A|A
*
及|A
*
|=|A|
2
,得|(3A)
-1
-2A
*
|=|2/3A
*
-2A
*
|=|-4/3A
*
|=(-4/3A
3
|=(-4/3)
3
|A|
2
=-16/27.
注意,对于咒阶可逆方阵A,由AA
-1
=E两端取行列式,即得|A
-1
|=1/|A|;由A
*
=|A|A
-1
,即得|A
*
|=|A|
n
|A|
-1
=|A|
n-1
;由于用数k乘A是用k去乘A的每个元素,故有|kA|=k
n
|A|.
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考研数学三
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