设A是3阶方阵,A*是A的伴随矩阵,A的行列式|A|=1/2,求行列式|(3A)-1-2A*|的值.

admin2018-07-26  54

问题 设A是3阶方阵,A*是A的伴随矩阵,A的行列式|A|=1/2,求行列式|(3A)-1-2A*|的值.

选项

答案因为(3A)-1=1/3A-1,A*=|A|A-1=1/2A-1,所以|(3A)-1-2A*|=|1/3A-1-A-1|=|-2/3A-1|=(-2/3)3|A-1|=(-2/3)31/|A|=-16/27.

解析 本题主要考查逆矩阵的概念、性质及方阵行列式的概念.由于一般地有|P+Q|≠|P|+|Q|,所以本题将(3A)-1-2A*化成一个方阵是求解关键.本题亦可由A-1=1/|A|A*及|A*|=|A|2,得|(3A)-1-2A*|=|2/3A*-2A*|=|-4/3A*|=(-4/3A3|=(-4/3)3|A|2=-16/27.
注意,对于咒阶可逆方阵A,由AA-1=E两端取行列式,即得|A-1|=1/|A|;由A*=|A|A-1,即得|A*|=|A|n|A|-1=|A|n-1;由于用数k乘A是用k去乘A的每个元素,故有|kA|=kn|A|.
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