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  3. 设向量组α，β，γ线性无关，α，β，σ线性相关，则( )．

设向量组α，β，γ线性无关，α，β，σ线性相关，则( )．

admin2020-03-24  23
问题 设向量组α，β，γ线性无关，α，β，σ线性相关，则(    )．
选项 A、α必可由β，γ，σ线性表示
B、β必不可由α，γ，σ线性表示
C、σ必可由α，β，γ线性表示
D、α必不可由α，β，γ线性表示
答案C
解析  解一  因α，β，γ线性无关，故α，β也线性无关．而α，β，σ线性相关，由命题2．3．1．1知，σ必可由α，β线性表示，即σ必可由α，β，γ线性表示．仅(C)入选．
    解二  可用向量组的秩判别．因α，β线性无关，故秩([α，β])=2．而α，β，σ线性相关，α，β线性无关，故秩([α，β，σ])=2，故秩([α，β，σ])=秩([α，β])．由命题2．3．1．2(1)知，σ可由α，β线性表示，因而σ也可由α，β，γ线性表示．仅(C)入选．
    解三  因α，β，γ线性无关，故秩([α，β，γ])=3，而α，β线性无关，α，β，σ线性相关，故σ为α，β的线性组合，也为α，β，γ的线性组合，由命题2．3．1．2(1)知，秩([α，β，γ，σ])=3．于是秩([α，β，γ])=秩([α，β，γ，σ])．再由命题2．3．1．2(1)知，σ可由α，β，γ线性表出．仅(C)入选．
    注：命题2．3．1．1  α1，α2，…，αs线性无关，而β，α1，α2，…，αs线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一．
        命题2．3．1．2  设A=[α1，α2，…，αm]，B=[α1，α2，…，αm，β]，其中α1，α2，…，αm，β均为n维列向量，则(1)β可由α1，α2，…，αm线性表示的充要条件是秩(A)=秩(B)，即秩([α1，α2，…，αm])=秩([α1，α2，…，αm，β])；
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考研数学三

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