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  3. 已知三元二次型χTAχ的平方项系数都为0，α＝(1，2，－1)T满足Aα＝2α． ①求χTAχ的表达式． ②求作正交变换χ＝Qy，把χTAχ化为标准二次型．

已知三元二次型χTAχ的平方项系数都为0，α＝(1，2，－1)T满足Aα＝2α． ①求χTAχ的表达式． ②求作正交变换χ＝Qy，把χTAχ化为标准二次型．

admin2016-07-20  31
问题 已知三元二次型χTAχ的平方项系数都为0，α＝(1，2，－1)T满足Aα＝2α．
    ①求χTAχ的表达式．
    ②求作正交变换χ＝Qy，把χTAχ化为标准二次型．
选项
答案①设A＝[*]，则条件Aα＝2α即[*] 得2a－b＝2，a－c＝4，b＋2c＝－2，解出a＝b＝2，c＝－2． 此二次型为4χ1χ2＋4χ1χ3－4χ2χ3． ②先求A特征值 ｜λE－A｜＝[*]＝(λ－2)2(λ＋4)． 于是A的特征值就是2，2，－4． 再求单位正交特征向量组． 属于2的特征向量是(A－2E)χ＝0的非零解． A－2E＝[*] 得(A－2E)χ＝0的同解方程组：χ1－χ2－χ3＝0． 显然β1＝(1，1，0)T是一个解，设第二个解为β2＝(1，－1，c)T(这样的设定保证了两个解是正交的!)，代入方程得c＝2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β1，β2．再把它们单位化：记 η1＝β1／‖β1‖＝[*]β1，η2＝β2／‖β2‖[*]β2． 属于－4的特征向量是(A＋4E)χ＝0的非零解． 求出β3＝(1，－1，－1)T是一个解，单位化：记 η3＝β3／‖β3‖＝[*]β3． 则η1，η2，η3是A的单位正交特征向量组，特征值依次为2，2，－4． 作正交矩阵Q＝(η1，η2，η3)，则Q-1AQ是对角矩阵，对角线上的元素为2，2，－4． 作正交变换χ＝Qy，它把f(χ1，χ2，χ3)化为2y12＋2y22－4y32．
解析
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考研数学一

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