已知(X,Y)的联合密度函数f(χ,y)=g(χ)h(y),其中g(χ)≥0,h(y)≥0,a=∫-∞+∞g(χ)dχ,b=∫-∞+∞h(y)dy存在且不为零,则X与Y独立,其密度函数fX(χ),fy(y)分别为

admin2019-02-23  23

问题 已知(X,Y)的联合密度函数f(χ,y)=g(χ)h(y),其中g(χ)≥0,h(y)≥0,a=∫-∞+∞g(χ)dχ,b=∫-∞+∞h(y)dy存在且不为零,则X与Y独立,其密度函数fX(χ),fy(y)分别为

选项 A、fX(χ)=g(χ),fY(y)=h(Y).
B、fX(χ)=ag(χ),fY(y)=bh(y).
C、fX(χ)=bg(χ),fY(y)=ah(y).
D、fX(χ)=g(χ),fY(y)=abh(y).

答案C

解析 显然我们需要通过联合密度函数计算边缘密度函数来确定正确选项.由于
    fX(χ)=∫-∞+∞f(χ,y)dy=∫-∞+∞g(χ)h(y)dy=g(χ)∫-∞+∞(y)dy=bg(χ).
    fY(y)=∫-∞+∞g(χ)h(y)dχ=ah(y),
    又1=∫-∞+∞-∞+∞f(χ,y)dχdy=∫-∞+∞g(χ)dχ∫-∞+∞h(y)dy=ab,
    所以f(χ,y)=g(χ)h(y)=abg(χ)h(y)=bg(χ)ah(y)=fX(χ)fY(y),X与Y独立,故选C.
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