设f(x)在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数,且f(A)=f(b)=0,当x∈(a,b)时, f(x)≠0. 证明:

admin2015-07-22  45

问题 设f(x)在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数,且f(A)=f(b)=0,当x∈(a,b)时, f(x)≠0.
证明:

选项

答案取x0∈(a,b)如分析中所说,有 [*] 在区间[a,x0]与[x0,b]上对f(x)分别用拉格朗日中值公式,有 [*]

解析 由题设f(A)=f(b)=0,所以

可能是个反常积分。若此反常积分发散,则必有

此时可视为要证明的不等式成立.
    以下设该反常积分收敛或可视为一个一般定积分.
    由于|f(x)|>0(当a<x<b),故存在x0∈(a,b),使
    max{|f(x)|)}= f(x0)|>0且f’(x0)=0.从而缩小来证明之.
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