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  3. 要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为h，上底面直径为2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数p．设水泥的比重为ρ，试求桥墩的形状．

要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为h，上底面直径为2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数p．设水泥的比重为ρ，试求桥墩的形状．

admin2018-11-21  36
问题 要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为h，上底面直径为2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数p．设水泥的比重为ρ，试求桥墩的形状．
选项
答案首先建立坐标系，如图6．3所示，x轴为桥墩中心轴，y轴为水平轴．设桥墩侧面的曲线方程为y=y(x)． 其次列出y(x)满足的方程．由于顶面的压强也为p，则顶面承受的压力为F=pπa2． 考察中心轴上点x处的水平截面上所受总压力，它应等于压强×截面积=pπy2(x)，另一方面又等于 顶面的压力+该截面上方桥墩的重量=pπa2+∫xhρπy2(s)ds． 于是得 pπy2(x)=pπa2+ρπ∫xhy2(s)ds． (*) 再将积分方程转化为微分方程的初值问题．将上述方程两边对x求导得 2pπyy’=一ρπy2． 又在(*)式中令x=h得y(h)=a，于是得到[*]． 最后求解初值问题．这是一阶线性齐次方程的初值问题，易求得y=[*]． [*]
解析
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考研数学一

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