(1)设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx． (2)计算

admin2016-01-15 31

问题 (1)设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫_a^a+lf(x)dx=∫₀^lf(x)dx．
(2)计算

选项

答案(1)证明：必要性：设φ(a)=∫₀^a+lf(x)dx一∫₀^af(x)dx，由题设 φ’(a)=f(a+l)一f(a)=0，则φ(a)=c(常数)．设a=0，则c=φ(0)=∫₀^lf(x)dx，那么φ(a)=∫_a^a+lf(x)dx=∫₀^lf(x)dx．充分性：在∫₀^a+lf(x)dx=∫₀^lf(x)dx两边对a求导，得f(a+l)一f(a)=0，故f(x)以l为周期． (2)利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是 [*]

解析

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考研数学一

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设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，且f(a)=f(b)=1。证明必存在ξ，η∈(a，b)，使得eη—ξ[f(η)+f’(η)]=1。
求(U，V)的相关系数．
位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与及1+y’2之积成反比，比例系数为，求y=y(x)．
设f(χ)＝是连续函数，求a，b．
设f(x)二阶连续可导，且f(0)=f’(0)=0,f"(x)＞0，过曲线y=f(x)上任一点(x,f(x))(x≠0)处作切线，此切线在x轴上的截距为u,求.
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设3阶矩阵A有三重特征值1，f(x)=｜xE-A｜-｜A-1｜，则至少存在一点x0∈(0，1)，使得y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线()
[*]先画出积分区域，如下图阴影部分所示．然后调换积分次序(先对y后对x)计算．这是因为被积函数为直接对x积分是无法求出结果的．解交换积分次序(先对y后对x)计算，得到：
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