首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
(2000年)设函数f(x)在[0.π]上连续.且试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1和ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
(2000年)设函数f(x)在[0.π]上连续.且试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1和ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
admin
2018-07-01
33
问题
(2000年)设函数f(x)在[0.π]上连续.且
试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
和ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
选项
答案
证1 令[*] 则F(0)=F(x)=0 又 [*] 所以存在ξ∈(0,π),使F(ξ)sinξ=0,因若不然,则在(0,π)内或F(x)sinx恒为正,或F(x)sinx恒为负,均与[*]矛盾.但当ξ∈(0,π)时,sinξ≠0,故F(ξ)=0. 由此证得F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0<ξ<π) 再对F(x)在[0,ξ]和[ξ,π]上分别应用罗尔中值定理,知至少存在ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
∈(ξ,π),使 F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0 即 f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0 证2 由[*]及f(x)的连续性可知,存在ξ
1
∈(0,π),使f(ξ
1
)=0.因若不然,则在(0,π)内或f(x)恒为正,或f(x)恒为负,均与[*]矛盾. 若在(0,π)内f(x)=0仅有一个实根x=ξ
1
,则由[*]推知,f(x)在(0,ξ
1
)内与(ξ
1
,π)内异号,不妨设在(0,ξ
1
)内f(x)>0,在(ξ
1
,π)内f(x)<0.于是再由[*]及cosx在[0,π]上的单调性知 [*] 得出矛盾.从而推知,在(0,π)内除ξ
1
外,f(x)=0至少还有另一实根ξ
2
,故知存在ξ
1
,ξ
2
∈(0,π),ξ
1
≠ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
解析
构造函数
显然F’(x)=f(x).若能证明F(x)在[0,π]上有三个零点,由罗尔定理可知在(0,π)上至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0,即f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.而F(0)=0,F(π)=0,所以只要证在(0,π)内至少还有F(x)的一个零点即可.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/lG2RFFFM
0
考研数学一
相关试题推荐
曲线y=的凹区间是____
设函数f(x)是定义在(-1,1)内的奇函数,且,则f(x)在x=0处的导数为()
变换下列二次积分的积分次序:
设∑为x+y+z=1在第一卦限部分的下侧,则(x2+z)dxdy等于()
设变换可把方程简化为,求常数a
设f(x)是连续函数.
(2002年)设函数f(x)在(一∞,+∞)内具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(a,b),终点为(c,d)。记(I)证明曲线积分I与路径L无关;(Ⅱ)当ab=cd时,求I的值。
(2002年)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数,且f(0)≠0,f′(0)≠0,若af(h)+bf(2h)一f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小,试确定a,b的值。
(1993年)求
[2015年]设向量组α1,α2,α3是三维向量空间R3的一个基,β1=2α1+2kα3,β2=2α2,β3=α1+(k+1)α3.当k为何值时,存在非零向量ξ在基α1,α2,α3与基β1,β2,β3下的坐标相同,并求所有的ξ.
随机试题
司马迁把当时的“天下”划分出基本经济区,论述各地的地域文化习俗。这几大基本经济区主要有()
根之茂者其实遂。遂:
下列哪项不是慢性淋巴细胞白血病的常见临床表现?
对业主提供的物资,承包单位应该( )。
甲公司适用的企业所得税税率为25%,经当地税务机关批准,甲公司自20×1年2月取得第一笔生产经营收入所属纳税年度起,享受“三免三减半”的税收优惠政策,即20×1年至20×3年免交企业所得税,20×4年至20×6年减半,按照12.5%的税率交纳企业所得税。甲
酒精温度计和煤油温度计所能测量的最高温度是不同的,这主要是由于酒精和煤油的()。
科学技术作为生产力的特点有( )
关于光纤分布式数据接口FDDI的叙述错误的是______。
有如下程序:#include<lostreanl>usingnamespacestd;elassMyClass{public:MyClass(){++count;}~MyClass(){--coun
显示器的主要技术指标之一是()。
最新回复
(
0
)