2. 考研
  3. (1)设λ1，λ2，…，λn是n阶矩阵A的互异特征值，α1，α2，…，αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α1，α2，…，αn线性无关； (2)设A，B为n阶方阵，｜B｜≠0，若方程｜A一λB｜=0的全部根λ1，λ2，…，λn互异，αi分

(1)设λ1，λ2，…，λn是n阶矩阵A的互异特征值，α1，α2，…，αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α1，α2，…，αn线性无关； (2)设A，B为n阶方阵，｜B｜≠0，若方程｜A一λB｜=0的全部根λ1，λ2，…，λn互异，αi分

admin2018-09-25  49
问题 (1)设λ1，λ2，…，λn是n阶矩阵A的互异特征值，α1，α2，…，αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α1，α2，…，αn线性无关；
    (2)设A，B为n阶方阵，｜B｜≠0，若方程｜A一λB｜=0的全部根λ1，λ2，…，λn互异，αi分别是方程组(A—λB)x=0的非零解，i=1，2，…，，2．证明α1，α2，…，αn线性无关．
选项
答案(1)用数学归纳法． ①由特征向量α1≠0，故α1线性无关； ②假设前K－1个向量α1，α2，…，αk－1线性无关，以下证明α1，α2，…，αk线性无关．K个互异特征值λ1，λ2，…，λk对应着特征向量α1，α2，…，αk．现设存在一组数l1，l2，…，lk，使得 l1α1，l2α2，…，lkαk=0， (*) 在(*)式两端左边乘A，有l1Aα1，l2Aα2，…，lkAαk=0， 即 l1λ1α1，l2λ2α2，…，lkλkαk=0； (**) 又在(*)式两端左边乘λk，有l1λkα1，l2λkα2，…，lkλkαk=0． (***) 用(**)式减去(***)式，得 l1(λ1－λk)α1+l2(λ2－λk)α2+…+lk－1(λk－1－λk)αk－1=0． 由归纳假设α1，α2，…，αk－1线性无关，故 l1(λ1－λk)=l2(λ2－λk)=…=lk－1(λk－1－λk)=0， 又λi－λk≠0(i=1，2，…，k－1)，故l1=l2=…=lk－1=0． 代回(*)式，于是lkαk=0，由αk≠0，有lk=0，于是α1，α2，…，αk线性无关． 所以n的互异特征值对应特征向量α1，α2，…，αn线性无关． (2)由｜B｜≠0，在｜A－λB｜=0两端左边乘｜B－1｜，有 ｜B－1A－λE｜=0，即｜λE－B－1A｜=0， 于是λ1，λ2，…，λn是矩阵B－1A的n个互异特征值． 又由(A－λiB)x=0，两端左边乘B－1，有 (B－1A－λiE)x=0，即(λiE－B－1A)x=0， 故α1，α2，…，αn为B－1A的对应于λ1，λ2，…，λn的特征向量，由(1)知，α1，α2，…，αn线性无关．
解析
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