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  3. 如果A是一个r行n列的其秩为r的矩阵，A的所有行向量形成一个齐次线性方程组的基础解系，而B是一个任意r阶可逆矩阵，则矩阵BA的所有行向量也形成该齐次线性方程组的基础解系。

如果A是一个r行n列的其秩为r的矩阵，A的所有行向量形成一个齐次线性方程组的基础解系，而B是一个任意r阶可逆矩阵，则矩阵BA的所有行向量也形成该齐次线性方程组的基础解系。

admin2015-11-16  39
问题 如果A是一个r行n列的其秩为r的矩阵，A的所有行向量形成一个齐次线性方程组的基础解系，而B是一个任意r阶可逆矩阵，则矩阵BA的所有行向量也形成该齐次线性方程组的基础解系。
选项
答案证一 设[*]，其中αj为A的行向量，B＝[bij]r×r，则[*]， 其中βj为BA的行向量，则 [*] 因α1，α2，…，αr线性无关，且B为满秩矩阵，即 r(B)＝r＝向量组(β1，β2，…，βr)的个数， 故β1，β2，…，βr线性无关。 因αj为某齐次线性方程组的基础解系，则因β1，β2，…，βr均为α1，α2，…，αr的线性组合，故β1，β2，…，βr也必为该齐次线性方程组的r个解，又它们线性无关，所以β1，β2，…，βr即BA的r个行向量也为该齐次方程组的一个基础解系。 证二 设αj(j＝1，2，…，r)为齐次方程组XTC＝0的一个基础解系(XT为行向量，αj也为行向量)，则αjc＝0，其中c为C的任意列向量，则b1jαjc＝0(j＝1，2，…，r)，因而[*]。同理有 [*](i＝1，2，…，r)。 即BA的r个行向量均为XTC＝0的解。 又因B可逆，故秩(BA)＝秩(A)＝r，BA的r个行向量线性无关，所以BA的r个行向量也形成该齐次方程组XTC＝0的基础解系。
解析
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考研数学一

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