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  3. 设f(x)连续且关于x=T对称，a＜T＜b．证明：∫abf(x)dx=2∫Tbf(x)dx+∫a2T-bf(x)dx．

设f(x)连续且关于x=T对称，a＜T＜b．证明：∫abf(x)dx=2∫Tbf(x)dx+∫a2T-bf(x)dx．

admin2021-10-18  25
问题 设f(x)连续且关于x=T对称，a＜T＜b．证明：∫abf(x)dx=2∫Tbf(x)dx+∫a2T-bf(x)dx．
选项
答案由f(x)关于x=T对称得f(T+x)=f(T-x)，于是∫T2T-bf(x)dx→∫Tbf(2T-u)(-du)=-∫Tbf[T-(u-T)]du=-∫Tbf[T+(u-T)-]du=-∫Tbf(x)dx得∫Tbf(x)dx+∫T2T-bf(x)dx=0，故∫Tbf(x)dx=∫abf(x)dx+∫Tbf(x)dx+∫T2T-bf(x)dx=∫aTf(x)dx+∫Tbf(x)dx+∫Tbf(x)dx+∫T2T-bf(x)dx=2∫Tbf(x)dx+∫a2T-bf(x)dx．
解析
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考研数学二

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