2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0，证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(1+ξ2)arctanξ·f′(ξ)=一1．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0，证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(1+ξ2)arctanξ·f′(ξ)=一1．

admin2020-05-02  28
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0，证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(1+ξ2)arctanξ·f′(ξ)=一1．
选项
答案令F(x)=ef(x)arctanx，则由已知条件f(1)=0，得 [*] 又由积分中值定理，存在一点[*]使得 [*] 即 [*] 显然F(x)在区间[x0，1]上满足罗尔中值定理的条件，于是存在ξ∈(x0，1)[*](0，1)，使得F′(ξ)=0，即(1+ξ2)arctanξ·f′(ξ)=－1．
解析
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考研数学一

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