设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且|f’(x)|<1,又f(0)=f(1),证明:对于x1,x2∈[0,1],有 |f(x1)-f(x2)|<.

admin2019-02-20  16

问题 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且|f’(x)|<1,又f(0)=f(1),证明:对于x1,x2∈[0,1],有
    |f(x1)-f(x2)|<

选项

答案联系f(x1)-f(x2)与f’(x)的是拉格朗日中值定理.不妨设0≤x1≤x2≤1.分两种情形: 1)若x2-x1<[*]直接用拉格朗日中值定理得 |f(x1)-f(x2)|=|f’(ξ)(x2-x1)|=|f’(ξ)||x2-x1|<[*] 2)若x2-x1≥[*]当01<x2<1时,利用条件f(x)=f(1)分别在[0,x1]与[x2,1]上用拉格朗日中值定理知存在ξ∈(0,x1),η∈(x2,1)使得 |f(x1)-f(x2)|=|[f(x1)-f(0)]-[f(x2)-f(1)]| ≤|f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)| =|f’(ξ)x1+|f’(η)(1-x2)| <x1+(1-x2)=1-(x2-x1)≤[*] ①当x1=0且[*]时,有 |f(x1)-f(x2)|=|f(0)-f(x2)|=|f(1)-f(x2)|=|f’(η)(1-x2|<[*] ②当[*]且x2=1时,同样有 |f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(1)|=|f(x1)-f(0)|=|f’(ξ)(x1-0)|<[*] 因此对于任何x1,x2∈[0,1]总有 |f(x1)-f(x2)|<[*]

解析
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