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  3. 设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)＝1，f’(1)＝0，f(2)＝．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’’’(ξ)＝2．

设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)＝1，f’(1)＝0，f(2)＝．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’’’(ξ)＝2．

admin2015-07-24  32
问题 设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)＝1，f’(1)＝0，f(2)＝．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’’’(ξ)＝2．
选项
答案先作一个函数P(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，使得P(0)＝f(0)＝1，P’(1)＝f’(1)＝0， P(2)＝f(2)＝[*]，P(1)＝f(1)． 则P(x)＝[*] 令g(x)＝f(x)一P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)＝g(1)＝g(2)＝0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g’(c1)＝g’(1)＝g’(c2)＝0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g"(d1)＝g"(d2)＝0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d1，d2)[*](0，2)，使得g’’’(ξ)＝0，而g’’’(x)＝f’’’(x)一2，所以f’’’(ξ)＝2．
解析
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考研数学一

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