设平面图形D由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost),0≤t≤2π,a>0的第一拱与x轴围成,求该图形D对y轴的面积矩My.

admin2018-12-21  51

问题 设平面图形D由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost),0≤t≤2π,a>0的第一拱与x轴围成,求该图形D对y轴的面积矩My

选项

答案题中所给的D是一个以摆线一拱x=a(t-sin t),y=a(1-cos t),0≤t≤2π,a>0为上边界,x轴为下边界,从x=0到x=2πa的曲边梯形.取竖条,其面积微元为ydx,它对y轴的面积矩为sydx,所以D对y轴的面积矩为∫02πaxydx. (*) 现在按此公式求My. 将摆线表达式代入式(*),可以看出将积分变量由x换成t,得 My﹦∫02πaxydx﹦∫0a3(t﹣sin t)(1﹣cos t)2dt ﹦a30t(1﹣cos t)2dt﹣a30sin t·(1﹣cos t)2dt [*]a3I1﹣a3I2. 其中I1﹦∫0t(1﹣cos t)2dt,I2﹦∫0sin t(1﹣cos t)2dt. 采用一个巧妙的办法计算I1,令t﹦2π﹣u,则 I1﹦∫0(2π﹣u)(1﹣cos u)2(﹣du) ﹦∫02π(1﹣cos u)2 (du)﹣∫0u(1﹣cos u)2du, 故2I1﹦∫02π(1﹣cos u)2du, I1﹦π∫0(1﹣cos u)2du﹦4π∫0[*]du ﹦4π∫0sin4[*]du[*]8π∫0πsin4θdθ ﹦16π[*]sin4θdθ﹦16π[*]﹦3π2. I2﹦π∫0sin t(1﹣cos t)2dt=[*](1﹣cos t)30=0, 所以My﹦3a3π2

解析
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