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  3. 设f在[a，+∞)上连续，且f(x)存在．证明：f在[a，+∞)上有界．又问f在[a，+∞)上必有最大值或最小值吗?

设f在[a，+∞)上连续，且f(x)存在．证明：f在[a，+∞)上有界．又问f在[a，+∞)上必有最大值或最小值吗?

admin2022-10-31  37
问题 设f在[a，+∞)上连续，且f(x)存在．证明：f在[a，+∞)上有界．又问f在[a，+∞)上必有最大值或最小值吗?
选项
答案(1)设[*]f(x)=A，则对ε=1，存在正数x＞a，使得当x＞X时．有｜f(x)-A｜＜ε=1． 于是，当x＞X时，有｜f(x)｜＜｜A｜+1．又f在[a,+∞)上连续，所以f在闭区间[a，X]上也连续．根据连续函数的有界性知，存在G＞0，使得当x∈[a,X]时有｜f(x)｜＜G．于是对一切x∈[a，+∞)，｜f(x)｜＜max{C，｜A｜+1},即f在[a，+∞)上有界． (2)(ⅰ)若[*]x0∈[a，+∞)，使得f(x0)=B＞A．则知存在正数X1＞a，使得当x＞X1时有｜f(x)-A｜＜[*]，从而当x＞X1时，f(x)＜[*]＜B．又f(x)在[a，X1]上连续．从而知f(x)在[a,X1]上存在最大值．即[*]x1∈[a，X1]，使得f(x)≤f(x1)，[*]x∈[a，X1]，且f(x1)≥B．从而f(x1)也是f(x)在[a，+∞)上的最大值． (ⅱ)若[*]x0∈[a，+∞),使得f(x0)=C＜A，则知存在正数X2＞a，使得当x＞X2时有｜f(x)-A｜＜[*]．从而当x＞X2时，f(x)＞[*]＞C．又f(x)在[a，X2]上连续，从而f(x)在[a，X2]上存在最小值．即[*]x2∈[a，X2]，使得f(x)≥f(x2)，[*]x∈[a，X2]．且f(x2)≤C，从而f(x2)也是f(x)在[a,+∞)上的最小值． (ⅲ)f(x)≡A时，则f(x)在[a，+∞)既取得最大值，也取得最小值，均为A．
解析
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