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设A为2阶矩阵，α为非零向量，但不是A的特征向量，且满足A2α+Aα-2α=0，试证 α，Aα线性无关；
设A为2阶矩阵，α为非零向量，但不是A的特征向量，且满足A2α+Aα-2α=0，试证 α，Aα线性无关；
admin
2020-04-30
24
问题
设A为2阶矩阵，α为非零向量，但不是A的特征向量，且满足A
2
α+Aα-2α=0，试证
α，Aα线性无关；
选项
答案
设k
1
，k
2
，使得k
1
α
1
+k
2
Aα=0，若k
2
=0[*]k
1
α=0，而α≠0，所以k
1
=0， 若[*]是A的特征向量，这与已知矛盾．综上，可得k
1
=k
2
=0，所以α，Aα线性无关．
解析
本题主要考查方阵相似对角矩阵的条件．用向量组线性无关的定义可证得α，Aα线性无关；再由A
2
α+Aα-2α=0有非零解确定A的特征值，由于特征值各不相同，故方阵A可对角化．
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/jk9RFFFM
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考研数学一
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