已知函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx，(k∈R)，证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对x∈(0，x0)，f(x)＞g(x)；

admin2019-08-05 7

问题已知函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx，(k∈R)，
证明：当k＜1时，存在x₀＞0，使得对x∈(0，x₀)，f(x)＞g(x)；

选项

答案令G(x)=f(x)－g(x)=ln(1+x)－kx，x∈[0，+∞)，则有G^’(x)=[*]．当k≤0时，G^’(x)＞0，所以G(x)在[0，+∞)上单调递增，G(x)＞G(0)=0，故对任意正实数x₀均满足题意．当0＜k＜1时，令G_’(x)=0，得x=[*]－1＞0．取x₀=[*]－1，对任意x∈(0，x₀)，G^’(x)＞0，所以G(x)在[0，x₀)上单调递增，G(x)＞G(0)=0，即f(x)＞g(x)．综上，当k＜1时，总存在x₀＞0，使得对任意的x∈(0，x₀)，f(x)＞g(x)．

解析

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