2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12—y22一y32，又A*α=α，其中α=(1，1，一1)T． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12—y22一y32，又A*α=α，其中α=(1，1，一1)T． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标

admin2022-01-23  2
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12—y22一y32，又A*α=α，其中α=(1，1，一1)T．    (Ⅰ)求矩阵A；    (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标准形．
选项
答案(Ⅰ)显然A的特征值为λ1=2，λ2=一1，λ2=一1，|A|=2，伴随矩阵A*的特征值为μ1=1，μ2=一2，μ3=一2．由A*α=α得AA*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1，1，一1)T是矩阵A的对应于特征值λ1=2的特征向量． 令ξ=(x1，x2，x3)T为矩阵A的对应于特征值λ2=一1，λ3=一1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以αTξ=0，即x1+x2一x3=0，于是λ2=一1，λ3=一1对应的线性无关的特征向量为 [*]
解析
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考研数学一

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