2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3． 证明向量组β，Aβ，A2β线性无关．

设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3． 证明向量组β，Aβ，A2β线性无关．

admin2014-04-16  28
问题 设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3．
证明向量组β，Aβ，A2β线性无关．
选项
答案法一 用线性无关的定义证．假设有数k1，k2，k3使得k1β+k2Aβ+kA2β=0．由β=ξ1+ξ2+ξ3及Aξi=λiξi，i=1，2，3．代入得k2(ξ2+ξ2+ξ3)+k2(λ2ξ2+λ2ξ2+λ3ξ3)+k3(λ1ξ1+λ22ξ22+λ22ξ3)=0，整理得(k1+k2λ1+k3λ12)ξ1+(k1+k2λ2+k3λ22)ξ2+(k1+k2λ3+k3λ32)ξ3=0．因ξ1，ξ2，ξ3线性无关，上式成立当且仅当[*]又λi，i=1，2，3互不相同，故方程组(*)的系数行列式[*]故方程组(*)仅有零解，即k1=k2一k3=0，所以β，Aβ，A2β线性无关． 法二 用等价向量组、初等变换、秩等论证．因[β，Aβ，A2β]=[ξ1+ξ2+ξ3，λ1ξ1+λ2ξ2+λ3ξ3，λ12ξ1+λ22ξ2+λ32ξ3][*]其中[*]所以C是可逆阵．故r[β1，Aβ，A2β]=r(ξ1，ξ2，ξ3)=3．因此，β，Aβ，A2β线性无关．(请读者用等价向量组或初等变换自行证明)
解析
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考研数学二

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