设A=有3个线性无关的特征向量,求x和y应满足的条件.

admin2021-01-25  39

问题 设A=有3个线性无关的特征向量,求x和y应满足的条件.

选项

答案由A的特征方程 |λE-A| [*] =(λ-1)2(λ+1)=0 得A的全部特征值为λ12=1,λ3=-1. 因为不同特征值所对应的特征向量线性无关,且对应于单特征值λ3=-1有且仅有一个线性无关的特征向量,故A有3个线性无关的特征向量[*]对应于2重特征值λ12=1必须有2个线性无关的特征向量[*]齐次方程组(E-A)x=0的基础解系含2个向量[*]r(E-A)=1.矩阵 [*] 的秩必须等于1,故[*]=-y-x=0,于是得x+y=0,而且当x+y=0时,E+A的秩的确为1,故x和y应满足条件x+y=0.

解析
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