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已知A,B为三阶非零方阵, 为齐次线性方程组BX=0的3个解向量.且AX=β3有非零解. (1)求a,b的值; (2)求BX=0的通解.
已知A,B为三阶非零方阵, 为齐次线性方程组BX=0的3个解向量.且AX=β3有非零解. (1)求a,b的值; (2)求BX=0的通解.
admin
2016-01-25
43
问题
已知A,B为三阶非零方阵,
为齐次线性方程组BX=0的3个解向量.且AX=β
3
有非零解.
(1)求a,b的值;
(2)求BX=0的通解.
选项
答案
(1)因B≠0,故r(B)≥1,因而BX=0的基础解系所含解向量的个数为 n一r(B)≤3—1=2个. 而β
1
,β
2
,β
3
均是BX=0的解,故β
1
,β
2
,β
3
必线性相关,于是 |β
1
,β
2
,β
3
|=[*]=0 解得a=3b.又AX=β
3
有非零解,即β
3
可由A的3个列向量 [*] 线性表示,由观察易看出 α
3
=3α
1
+2α
2
. 可见,β
3
可由α
1
,α
2
线性表示,因此β
3
,α
1
,α
2
线性相关,于是 |β
3
,α
1
,α
2
|=[*]=0, 解得b=5,从而a=15. (2)由题设r(B)≥1,于是3一r(B)≤2,又已知β
1
,β
2
为BX=0的两个线性无关的解,故3一r(B)≥2,所以3一r(B)=2,β
1
,β
2
即可作为BX=0的基础解系,故通解为 X=k
1
β
1
+k
2
β
2
(k
1
,k
2
为任意常数).
解析
因r(B)≥1,故β
1
,β
2
,β
3
必线性相关.又由AX=β
3
知,β
3
可表示为A的3个列向量的线性组.由这两个线性关系式可求出a,b.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/isNRFFFM
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考研数学三
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