若函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),则f’(x)的零点的个数为( ).

admin2018-09-29  37

问题 若函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),则f’(x)的零点的个数为(    ).

选项 A、4
B、3
C、2
D、1

答案B

解析 f’(x)的零点即为f’(x)=0的根,也就是f(x)的驻点.可以直接求f’(x),令f’(x)=0求解,但运算较复杂.注意到由f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),可知f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0.在[1,2],[2,3],[3,4]上f(x)满足罗尔定理,因此必定存在ξ1∈(1,2),ξ2∈(2,3),ξ3∈(3,4),使得
f’(ξ1)=f’(ξ2)=f’(ξ3)=0,
由于f(x)为四次多项式,f’(x)为三次多项式,因此三次方程f’(x)=0至多有三个实根.故选B.
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