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  3. 设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(1)Ax=0和(2)ATAx=0，必有( )

设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(1)Ax=0和(2)ATAx=0，必有( )

admin2018-12-29  24
问题 设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(1)Ax=0和(2)ATAx=0，必有(    )
选项 A、(1)的解是(2)的解，(2)的解也是(1)的解。
B、(1)的解是(2)的解，(2)的解不是(1)的解。
C、(2)的解是(1)的解，(1)的解不是(2)的解。
D、(2)的解不是(1)的解，(1)的解也不是(2)的解。
答案A
解析 如果α是(1)的解，有Aα=0，可得ATAα=AT(Aα)=AT0=0，即α是(2)的解。故(1)的解必是(2)的解。
反之，若α是(2)的解，有ATAα=0，用αT左乘可得
0=αT0=αT(ATAα)=(αTAT)(Aα)=(Aα)T(Aα)，
若设Aα=(b1，b2，…，bn)，那么
(Aα)T(Aα)  =b12+b22+ … +bn2=0bi=0(i=1，2，…，n)，
即Aα=0，说明α是(1)的解。因此(2)的解也必是(1)的解，故选A。
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