n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的（）

admin2020-03-24 35

问题 n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的（）

选项 A、充分必要条件
B、必要而非充分条件
C、充分而非必要条件
D、既非充分也非必要条件

答案B

解析由A～B，即存在可逆矩阵P，使P^—1AP=B，故
|AE—B|=|AE—P^—1AP|=|P^—1（λE—A）P|=|P^—1||λE—A||P|=|λE—A|，
即A与B有相同的特征值。
但当A，B有相同特征值时，A与B不一定相似。例如

虽然A，B有相同的特征值λ₁=λ₂=0，但由于r（A）≠r（B），A，B不可能相似。
所以，相似的必要条件是A，B有相同的特征值。所以应选B。

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考研数学三

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