设A为n阶方阵，且A+E与A—E均可逆，则下列等式中不成立的是( )

admin2020-03-01 24

问题设A为n阶方阵，且A+E与A—E均可逆，则下列等式中不成立的是( )

选项 A、(A+E)²(A—E)=(A—E)(A+E)²。
B、(A+E)^-1(A—E)=(A—E)(A+E)^-1。
C、(A+E)^T(A—E)=(A—E)(A+E)^T。
D、(A+E)(A—E)^*=(A—E)^*(A+E)。

答案C

解析由A与E可交换可得，A+E与A—E可交换，进而(A+E)²与A—E也可交换，故选项A正确。
显然，(A一E)(A+E)=(A+E)(A—E)。若在等式两边同时左、右乘(A+E)^一1，可得(A+E)^一1(A—E)=(A—E)(A+E)^一1；若先在等式两边同时左、右乘(A—E)^一1，可得(A+E)
(A—E)^一1=(A—E)^一1(A+E)，再在所得的等式两边同时乘以｜A—E｜，即得(A+E)(A—E)^*
=(A—E)^*(A+E)。故选项B，D正确。
事实上，只有当A^TA=AA^T时，(A+E)^T(A一E)=(A—E)(A+E)^T才成立。而A^TA=AA^T
不一定成立。例如：取

可见A^TA≠AA^T。所以选C。

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考研数学二

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