2. 考研
  3. 设非齐次线性方程组有三个线性无关解α1，α2，α3． (Ⅰ)证明系数矩阵的秩r(A)＝2； (Ⅱ)求常数a，b的值及通解．

设非齐次线性方程组有三个线性无关解α1，α2，α3． (Ⅰ)证明系数矩阵的秩r(A)＝2； (Ⅱ)求常数a，b的值及通解．

admin2017-03-06  30
问题 设非齐次线性方程组有三个线性无关解α1，α2，α3．
    (Ⅰ)证明系数矩阵的秩r(A)＝2；
    (Ⅱ)求常数a，b的值及通解．
选项
答案(Ⅰ)令r(A)＝r，因为系数矩阵至少有两行不成比例，所以r(A)≥2． α1－α2，α1－α3为对应的齐次线性方程组的两个解． 令k1(α1－α2)＋k2(α1－α3)＝0，即(k1＋k2)α1－k1α2－k2α3＝0． 因为α1，α2，α3线性无关，所以k1＝k2＝0，即α1－α2，α1－α3线性无关，于是对应的齐次线性方程组的基础解系至少含两个线性无关解向量，即4－r≥2或r≤2，故r(A)＝2． [*] 因为r(A)＝r([*])＝2，所以 [*] 解得a＝2，b＝－3，于是 [*] 通解为X＝[*]
解析
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考研数学二

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